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%https://ics.uci.edu/~eppstein/pubs/Epp-SJC-98.pdf%
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\documentclass[a4paper,10pt,ngerman]{scrartcl}
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\usepackage{babel}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[utf8x]{inputenc}
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\usepackage[a4paper,margin=2.5cm,footskip=0.5cm]{geometry}
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\usepackage[section]{placeins}
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% Die nächsten vier Felder bitte anpassen:
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\usepackage{lastpage}
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% Kopf- und Fußzeilen
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\usepackage{scrlayer-scrpage, lastpage}
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\setkomafont{pageheadfoot}{\large\textrm}
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\lohead{\Aufgabe}
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\rohead{Team-ID: \TeamId}
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\cfoot*{\thepage{}/\pageref{LastPage}}
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% Position des Titels
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\usepackage{titling}
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\setlength{\droptitle}{-1.0cm}
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% Für mathematische Befehle und Symbole
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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% Für Bilder
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\usepackage{graphicx}
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% Für Algorithmen
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\usepackage{algpseudocode}
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% Für Quelltext
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\usepackage{listings}
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\usepackage{color}
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\definecolor{mygreen}{rgb}{0,0.6,0}
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\definecolor{mygray}{rgb}{0.5,0.5,0.5}
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\definecolor{mymauve}{rgb}{0.58,0,0.82}
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\lstset{
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keywordstyle=\color{blue},commentstyle=\color{mygreen},
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stringstyle=\color{mymauve},rulecolor=\color{black},
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basicstyle=\footnotesize\ttfamily,numberstyle=\tiny\color{mygray},
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captionpos=b, % sets the caption-position to bottom
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keepspaces=true, % keeps spaces in text
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numbers=left, numbersep=5pt, showspaces=false,showstringspaces=true,
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showtabs=false, stepnumber=2, tabsize=2, title=\lstname
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}
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\lstdefinelanguage{JavaScript}{ % JavaScript ist als einzige Sprache noch nicht vordefiniert
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keywords={break, case, catch, continue, debugger, default, delete, do, else, finally, for, function, if, in, instanceof, new, return, switch, this, throw, try, typeof, var, void, while, with},
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morecomment=[l]{//},
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morecomment=[s]{/*}{*/},
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morestring=[b]',
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morestring=[b]",
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sensitive=true
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}
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% Diese beiden Pakete müssen zuletzt geladen werden
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%\usepackage{hyperref} % Anklickbare Links im Dokument
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\usepackage{cleveref}
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% Daten für die Titelseite
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\title{
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K-Shortest-Path \\
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Eppsteins Algorithmus}
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\author{Darian L. Tratar}
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\date{\LARGE\today}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section {Verwendung}
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\begin{itemize}
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\item Erf\"ullen zus\"atzlicher Bedingungen, die schwer zu optimieren sind
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\item L\"osung f\"ur ein NP-Schweres Problem (unterschiedlich markierte Kanten + jede Kante des Weges muss unterschiedlich markiert sein) (siehe Dreyfus und Lawler)
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\item Evaluieren eines Modells: $k$ als Ma\ss{}
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\item Vieles mehr (komplizierter)
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\end{itemize}
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\section {Laufzeiten}
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$m$ ist die Anzahl der Kanten und $n$ ist die Anzahl der Knoten
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\begin{itemize}
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\item F\"ur ein Paar von Punkten: $O(m + n \log n + k)$
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\item F\"ur ein Punkt zu allen andern Punkten: $O(m + n \log n + kn)$
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\item Aufstellen des Shortest-Path-Trees: $O( n \log n)$
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\item Gleiche Laufzeit f\"ur alle Wege kleiner als eine gegebene Strecke
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\item Dijkstra implementierung von Fox: $O(m + kn \log n)$
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\item Mit negativen Kanten ohne negativen Zyklus: $O(mn)$ oder $O(mn^{1/2}\log N)$ mit $N$ als gr\"o\ss{}ter Absolutbetrag der negativen Kanten
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\end{itemize}
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\section {Basics des Algorithmus}
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\begin{itemize}
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\item Binary-Heap f\"ur jeden Knoten, der nicht zum shortest-Path-Tree geh\"ort und die von diesem ereicht werden k\"onnen
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\item Heaps teilen sich gleiche Teile -> Graph mit $O(m + n\log n)$ Knoten
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\item Verbesserung mit Fredericksons tree decomposition techniques
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\end{itemize}
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\end{document}
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