%https://ics.uci.edu/~eppstein/pubs/Epp-SJC-98.pdf%

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% Für mathematische Befehle und Symbole
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% Für Bilder
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% Daten für die Titelseite
\title{
  K-Shortest-Path \\ 
Eppsteins Algorithmus}
\author{Darian L. Tratar}
\date{\LARGE\today}

\begin{document}
\maketitle

\section {Verwendung}
\begin{itemize}
  \item Erf\"ullen zus\"atzlicher Bedingungen, die schwer zu optimieren sind
  \item L\"osung f\"ur ein NP-Schweres Problem (unterschiedlich markierte Kanten + jede Kante des Weges muss unterschiedlich markiert sein) (siehe Dreyfus und Lawler) 
  \item Evaluieren eines Modells: $k$ als Ma\ss{}
  \item Vieles mehr (komplizierter)
\end{itemize}
\section {Laufzeiten}
$m$ ist die Anzahl der Kanten und $n$ ist die Anzahl der Knoten
\begin{itemize}
  \item F\"ur ein Paar von Punkten: $O(m + n \log n + k)$
  \item F\"ur ein Punkt zu allen andern Punkten: $O(m + n \log n + kn)$
  \item Aufstellen des Shortest-Path-Trees: $O( n \log n)$
  \item Gleiche Laufzeit f\"ur alle Wege kleiner als eine gegebene Strecke
  \item Dijkstra implementierung von Fox: $O(m + kn \log n)$
  \item Mit negativen Kanten ohne negativen Zyklus: $O(mn)$ oder $O(mn^{1/2}\log N)$ mit $N$ als gr\"o\ss{}ter Absolutbetrag der negativen Kanten
\end{itemize}

\section {Basics des Algorithmus}
\begin{itemize}
  \item Binary-Heap f\"ur jeden Knoten, der nicht zum shortest-Path-Tree geh\"ort und die von diesem ereicht werden k\"onnen
  \item Heaps teilen sich gleiche Teile -> Graph mit $O(m + n\log n)$ Knoten
  \item Verbesserung mit Fredericksons tree decomposition techniques
\end{itemize}



\end{document}